Фамилия Гостяйкина — женская форма, мужская — Гостяйкин. На первый взгляд она кажется производной от слова «гость», но суффикс -яйк- указывает на более сложную историю. В русских фамилиях суффикс -яйк- редок и обычно образует прозвища от глаголов или имен: например, Стояйкин (от «стоять»), Гуляйкин (от «гулять»). Но Гостяйкин — не от глагола, а, скорее всего, от личного имени Гостяй (уменьшительное от Гостимир, Гостевид или другого древнерусского имени с корнем «гост-»). Такие имена были популярны в домонгольской Руси и означали «гость» в значении «купец, приезжий торговец». Суффикс -яй- — это ласкательная форма, как Ваняй (от Иван) или Костяй (от Константин). То есть Гостяй — это «маленький гость» или «гостюшка», ласковое прозвище ребенка или младшего в роду.

Позже прозвище Гостяй закрепилось как фамилия с типичным суффиксом принадлежности -ин: Гостяйкин — «сын Гостяя». Встречается и вариант Гостяйкина — это женская форма, но в быту фамилия склоняется по падежам (Гостяйкиной, Гостяйкину). Географически фамилия редкая. По данным современных телефонных справочников, основные очаги — центральные регионы России, особенно Нижегородская область и Чувашия. Встречается также в Татарстане, что может указывать на межэтнические контакты: в тюркских языках «гость» — «кунак», но фамилия явно славянская по корню.

Сословная принадлежность предков неясна. Скорее всего, Гостяйкины — крестьяне или посадские люди, потому что фамилия образована от мирского имени, а не от церковного (святцы не знают имени Гостяй). Такие имена давали в быту, чтобы уберечь от злых духов или подчеркнуть характер: Гостяем могли назвать долгожданного ребенка, родившегося в гости, или, наоборот, пришлого человека, прижившегося в деревне. В документах XVII–XVIII веков встречаются крестьяне с прозвищем Гостяй в писцовых книгах по Рязанскому и Нижегородскому уездам, но систематических списков по фамилии Гостяйкина нет. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать в метрических книгах сел Нижегородской губернии — там вероятность найти запись выше, чем в других регионах.