Фамилия Гоуадзе — почти наверняка грузинская, и её происхождение стоит искать в ареале западной Грузии, прежде всего в Мегрелии или Гурии. Формант -дзе (груз. ძე) означает «сын» и является одним из самых распространённых патронимических суффиксов в грузинской ономастике, наряду с восточно-грузинским -швили. Если бы фамилия оканчивалась на -ашвили или -ури, это указывало бы на другой регион; суффикс -дзе чаще встречается у фамилий, восходящих к конкретному личному имени или прозвищу.

Основа «Гоуа» (Гоуа) — это, скорее всего, вариант грузинского имени Гоча или Гоги, либо уменьшительная форма от Георгий (Гия, Гога). В мегрельском диалекте, где многие звуки смягчаются и редуцируются, имя могло трансформироваться в «Гоуа». Менее вероятная, но возможная версия — связь с тюркским корнем «гой» (пастух, защитник стада), но для грузинской фамилии это нетипично, и лингвисты склоняются к исконно картвельской основе.

Интересная деталь: фамилия Гоуадзе встречается в России и Украине, но её носители — почти всегда потомки грузинских переселенцев XIX–XX веков. В самой Грузии фамилия не входит в число самых массовых, что говорит о её локальном происхождении: предки могли быть жителями одного села или рода, известного по имени основателя. Сословно Гоуадзе, скорее всего, относились к крестьянам или мелким дворянам (азнаури), но без генеалогических записей утверждать это сложно.

Таким образом, если ваша фамилия Гоуадзе, ваш предок по мужской линии, вероятно, носил имя Гоуа (Гоча, Георгий) и жил в западной Грузии, откуда фамилия и пошла как «сын Гоуа».