Фамилия Грешихина — женская форма фамилии Грешихин, и её происхождение стоит искать не в «грехах», а в русских диалектах. На первый взгляд основа «греш-» наталкивает на мысль о прозвище Грех или Грешка, которое могли дать человеку за какой-то проступок или, наоборот, в качестве охранительного имени (чтобы злые силы думали, что человек плохой и не трогали его). Однако более правдоподобная версия связана с глаголом «грешить» в его старом, ныне забытом значении — «ошибаться, промахиваться» при стрельбе или в работе. В северных и сибирских говорах «грешить» означало ещё и «бросать, швырять» (например, грешить камни). Таким образом, прозвище Грешиха мог получить либо меткий стрелок, либо человек с неспокойным, «мечущимся» характером.

Словообразовательная модель здесь классическая для русских фамилий: прозвище Грешиха → Грешихин («чей?» — сын Грешихи). Суффикс -ин указывает на принадлежность, а окончание -а в женском варианте Грешихина — чисто грамматическое. Важно, что это не дворянская фамилия: суффикс -ихин (-ихина) типичен для крестьянской среды центральной России и Поволжья, где прозвища на -иха (от женских имён или профессий) были распространены. Если в основе лежало женское прозвище Грешиха (например, так дразнили вдову или бойкую бабу), то фамилия указывает на то, что предок был сыном такой женщины.

Географически фамилия редкая. По данным переписей, Грешихины встречаются в основном в Кировской области, в Пермском крае и на Урале — регионах, куда в XVII–XVIII веках ссылали старообрядцев и переселяли государственных крестьян. Там диалектное слово «грешить» в значении «бросать» сохранялось дольше. Встречается также вариант написания с одной «с» — Грешихин, что не меняет сути, но может указывать на более позднюю запись фамилии при переписи (пропуск буквы из-за неграмотности писаря).

Сравнение с однокоренными фамилиями (Грешников, Грехов, Греховодов) показывает, что Грешихина стоит особняком: она не отвлечённо-моралистическая, а бытовая, «прозвищная». Если Грешников — это «сын грешного человека», то Грешихин — конкретнее: «сын того, кого звали Грешиха». Второй вариант выглядит реалистичнее для крестьянского быта, где прозвища цеплялись не за абстрактные грехи, а за манеру поведения или занятие.