Фамилия Григолая звучит не по-русски, и это подсказка: она не из «классических» русских фамилий на -ов, -ин или -ский. Её корни — в Грузии, и разбирать её нужно с учётом законов грузинского языка и антропонимики.

В основе фамилии лежит имя Григол — это грузинская форма имени Григорий (от греческого «грегорео» — «бодрствующий», «неспящий»). Фамилии, образованные от полных форм имени (без уменьшительных суффиксов), в Грузии встречаются часто, но обычно они принимают окончание -дзе или -швили. Здесь же мы видим окончание -ая, которое в русской передаче закрепилось за грузинскими фамилиями, оканчивающимися в оригинале на -иа (Григолиа). В русском языке «Григолиа» превратилось в «Григолая» по аналогии с прилагательными женского рода (типа «молодая»), хотя к роду носителя это не имеет отношения — фамилия склоняема для мужчин и женщин по-разному.

Фамилия Григолая — патронимическая, то есть образована от имени отца. Предок носителя этой фамилии, скорее всего, звался Григолом. Такие фамилии были широко распространены в Западной Грузии (регионы Имеретия, Гурия, Аджария), где модель на -иа (-ия) особенно типична. В отличие от восточногрузинских фамилий на -швили или -дзе, окончание -иа часто указывает на более архаичный пласт и может нести оттенок принадлежности к определённой местности или роду.

Социального статуса эта фамилия сама по себе не обозначает — Григолами могли быть и крестьяне, и князья. В грузинских документах XIX века встречаются записи о крестьянах с фамилией Григолиа (в русской транскрипции — Григолая) из Кутаисской губернии. В советское время фамилия «обрусела» в написании, но сохранила свою узнаваемую форму.

Итак, если коротко: Григолая — это грузинская фамилия, означающая «сын Григола» (Григория), с характерным западногрузинским окончанием -иа, которое в русском языке пишется как -ая.