Фамилия Гродзенкая — редкий случай, когда написание расходится с произношением и логикой словообразования. Правильнее было бы «Гродзенская», но на письме закрепился вариант через «а». В основе фамилии лежит географическое название — город Гродно (по-польски Grodno, по-белорусски Гродна). Суффикс -ск- в русских фамилиях указывает на принадлежность к месту: Гродзенский — тот, кто родом из Гродно или из окрестностей. Окончание -ая характерно для женской формы, но в быту фамилия могла закрепиться в такой записи за целым родом, если документы оформляли на женщину или переписчик機械чески перенёс форму из метрики.

Исторически Гродно — крупный центр Великого княжества Литовского, затем Речи Посполитой. Фамилии на -ский/-цкий в этой среде носили в основном шляхта, но не только. Крестьяне и мещане тоже получали такие фамилии при переписях, особенно если переселялись в другой регион — по месту выхода. Гродзенкая могла возникнуть у выходца из Гродненского воеводства, который переехал, например, в центральную Россию или на Украину, где его прозвали «гродзенским», а потом записали на женский лад.

Интересная деталь: в польской и белорусской традиции фамилия звучала бы как Grodzieńska (с мягким «дз»). Русская передача через «дз» сохранила это мягкое звучание, а не заменила на твёрдое «д», как в фамилиях типа Гродненский. Значит, носители фамилии — скорее всего, потомки выходцев из западнорусских земель, где польский или белорусский говор повлиял на произношение.

Редкость фамилии и её непривычное окончание говорят о том, что она не прошла через массовую унификацию в советских паспортных столах. Скорее всего, Гродзенкая — локальная, возможно, даже единичная фамилия, которая сохранилась в одном-двух родах. Если вы её носите, велика вероятность, что ваши предки были связаны с Гродненщиной, а сама фамилия — не случайная ошибка писаря, а живое свидетельство диалектного произношения.