Фамилия Грязин образована напрямую от прозвища Грязь. Самое очевидное объяснение — так могли назвать нечистоплотного человека или неряху. Но, как часто бывает с «некрасивыми» прозвищами, у этого значения есть серьёзный конкурент: прозвище Грязь могли дать по роду занятий. В старину «грязной» работой называли, например, крашение тканей — ремесло, при котором руки и одежда постоянно были в красителях. В этом случае фамилия указывает на профессию предка, а не на его личные качества.

Словообразовательная модель типична для русских фамилий: к основе Гряз- добавлен суффикс -ин, который указывает на принадлежность. В буквальном смысле Грязин — это «сын Грязи» или «человек из рода Грязевых». Форма на -ин характерна для фамилий, образованных от слов мужского рода с окончанием на -а/-я (Грязь → Грязин).

Исторические источники подтверждают древность этого корня. С. Б. Веселовский в своих исследованиях упоминает Богдана Грязина, дьяка Лжедимитрия (1609 год), и Ивана Кирилловича Грязева, дьяка (1624 год, Москва). Также известны Василий Ильич Грязной-Ильин (начало XVI века) и Юрий Васильевич Грязной-Ховрин (первая половина XVI века). Эти записи показывают, что прозвище и фамилия бытовали в среде служилых людей и московской знати, а не только среди крестьян.

Обратите внимание на параллельные формы: Грязев, Грязной. Грязев — та же основа, но с другим патронимическим суффиксом (-ов). Грязной — это уже не фамилия в современном смысле, а застывшее прозвище-прилагательное, которое тоже могло стать фамилией. Все эти варианты восходят к одному корню, и разница между ними — в грамматической модели, а не в происхождении.