Фамилия Гуляихина — редкий случай, когда суффикс рассказывает о происхождении больше, чем корень. Она образована по модели, типичной для северных и сибирских говоров: суффикс -их- указывает на принадлежность к роду или семье. В русской ономастике такие фамилии называют «полуотчествами»: Гуляиха — это жена или вдова человека по прозвищу Гуляй (или Гуляйко). А уже от прозвания женщины (Гуляиха) через суффикс -ин образовали фамилию — буквально «чья?» — Гуляихина. То есть предок носительницы фамилии был, скорее всего, из тех мест, где женщину называли по мужу, а не по отцу.

Корень — глагол «гулять» в его старом, более широком значении. В XVI–XVII веках «гуляй» означало не только праздного человека, но и вольного, свободного от крепостной зависимости. В документах того времени встречаются «гулящие люди» — те, кто не приписан ни к помещику, ни к посаду, живёт своим трудом и волен уйти куда хочет. Прозвище Гуляй могли дать как раз такому человеку — бродячему ремесленнику, охотнику, солевару или просто непоседе. Не исключён и оттенок «разгульный», но в крестьянской среде прозвища редко давали за безделье — скорее за характер, не терпящий оседлости.

Географически фамилия Гуляихина тяготеет к Поволжью и Зауралью. В переписях XIX века Гуляихины чаще всего встречаются в Вятской губернии (ныне Кировская область) и в Пермском крае. Именно там суффикс -их- в фамилиях особенно живуч: вспомните хотя бы Скорняковых, Шумихиных или Головановых — все они «свои», местные. В южных и западных регионах России такую форму почти не встретишь: там предпочитали -ов или -ин.

Любопытная деталь: фамилия могла возникнуть и от названия села или речки — Гуляиха. В Нижегородской области есть деревня Гуляиха, а в бассейне Вятки — несколько речушек с таким именем. Тогда фамилия не прозвищная, а топонимическая: переселенцы брали название малой родины. Но это скорее исключение: фамилии на -ихин почти всегда «женские» по происхождению.

Сравните с однокоренными: Гуляев, Гуляйкин, Гуляйко. Все они от того же «гулять», но с разными суффиксами. Гуляихина стоит особняком — она указывает не на самого Гуляя, а на его семью, причём через женскую линию. В этом её историческая ценность: она хранит память о том, как в русских деревнях называли «хозяйку дома» — по мужу, а не по отцу.