Фамилия Инкар — редкий случай, когда основа явно не славянская, а сама фамилия при этом существует в русском ономастиконе. Скорее всего, перед нами фамилия тюркского или арабского происхождения, которая попала в русскую среду через межэтнические контакты или позднее оформление.

Разбираем корень. В тюркских языках «инкар» (или «инкяр») восходит к арабскому «инкар» — отрицание, непризнание, отказ. В исламской традиции это слово имеет и богословский оттенок: «инкар аль-хакк» — отрицание истины. Но вряд ли предка прозвали «Отрицанием». Скорее всего, это личное имя или прозвище с более прикладным значением. У ряда тюркских народов (татары, башкиры, казахи) имя Инкар или Инкарь встречается — возможно, с пожелательной семантикой «непримиримый», «стойкий в отказе от зла». Вторая версия — от карачаево-балкарского «инкар» (осёл). Прозвище по животному — обычное дело, но для фамилии маловероятно: осёл в традиционной культуре чаще был символом упрямства, чем уважения, и вряд ли дало бы фамилию, не претерпев уничижительного суффикса.

Модель образования проста: фамилия Инкар — это застывшая форма имени или прозвища без патронимического суффикса (-ов, -ев, -ин). В русской среде так оформлялись фамилии инородцев, особенно в XIX — начале XX века, когда фиксация шла по звучанию, без адаптации. Встречается у крещёных татар, у народов Северного Кавказа, реже — у поволжских народов. Географически фамилия тяготеет к Татарстану, Башкортостану, а также к Оренбуржью и Астраханской области — регионам с сильным тюркским субстратом.

Сравним с однокоренными. Родственная фамилия Инкаров — уже с русским суффиксом принадлежности, то есть «сын Инкара». Инкар же — более архаичная, «чистая» форма, без патронимического оформления. Встречается и двойная фамилия Инкар-..., где первая часть — родовое имя.

Сословная принадлежность неясна: носители могли быть и крестьянами, и мещанами, и даже служилыми татарами. Никаких дворянских родов Инкар в «Бархатной книге» или «Общем гербовнике» нет — фамилия простонародная, поздняя. По переписям XIX века единичные записи фиксируются в Казанской и Уфимской губерниях.

Если ваши предки носили фамилию Инкар, скорее всего, они были тюркоязычными мусульманами (или крещёными татарами), а сама фамилия — прямое имя, данное при рождении или в зрелом возрасте как прозвище за характер. Точное значение угадывается через контекст: либо «отрицающий зло», либо просто личное имя без ярко выраженной семантики.