Фамилия Иринарх — редчайший случай в русском ономастиконе. Она не образована от прозвища, ремесла или географического названия, а является застывшей формой полного мужского имени. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий на -ов/-ев, -ин, -ский, которые пошли от крестильных имён через отчество (Иван → Иванов), фамилия Иринарх напрямую восходит к каноническому церковному имени без суффикса принадлежности. Это так называемая «нетрансформированная» фамилия — явление, характерное прежде всего для духовного сословия.

Имя Иринарх — греческого происхождения, от слов «эирене» (мир) и «архе» (начало, власть), то есть «мироначальник» или «владыка мира». В святцах оно известно по преподобному Иринарху Ростовскому, затворнику XVI века, и по Иринарху Соловецкому. В крестьянской и купеческой среде такое имя почти не встречалось: оно было слишком длинным и неудобным для бытового употребления. Поэтому фамилия Иринарх почти наверняка семинарская. В духовных училищах и семинариях XVIII–XIX веков ученикам нередко давали фамилии по имени святого или по празднику, причём часто в исходной, неадаптированной форме — без добавления -ов или -ин.

Таким образом, предок носителя фамилии Иринарх, скорее всего, был либо священнослужителем, либо семинаристом, которому при поступлении дали эту фамилию по имени его небесного покровителя. Географически фамилия может тяготеть к регионам, где почитался Иринарх Ростовский — к Ярославской, Костромской, Вологодской губерниям. Однако из-за редкости (фамилия не входит даже в сотни самых редких) каких-либо статистических данных о её распространении почти нет. Суффиксальная модель отсутствует, что и делает фамилию уникальной: она не склоняется по падежам как типичная русская фамилия и сохраняет архаичное церковное звучание.