Фамилия Избасовы, как и её мужская форма Избасов, по самой надёжной версии восходит к тюркскому имени Избас. Его связывают с казахским словом «ізбасар» — «наследник, последователь, преемник». Буквально имя можно разобрать и как «из» (след) и «бас» (голова), то есть «идущий по следу», «продолжатель дела». Такие имена давали мальчикам, от которых ждали, что они станут достойной сменой отцу.

Фамилия относится к древнему пласту восточных по происхождению русских фамилий. Её носители, скорее всего, потомки выходцев из Золотой Орды, печенегов или половцев, которые переходили на службу к русским князьям и со временем входили в состав дворянства. Процесс этот активно шёл в XV–XVII веках. Фамилию закрепили по обычной модели: к основе Избас добавили русский суффикс принадлежности -ов, получив буквально «сын Избаса».

Встречается и менее вероятная версия — о румынских корнях. Согласно ей, фамилия могла произойти от румынского слова izbi («ударить с силой», «сбросить», «поразить»). Но эта гипотеза слабее: румынские фамилии на -ас в русской среде единичны, а тюркская основа для фамилии Избасов хорошо ложится в контекст истории южнорусских и поволжских земель, где смешение с тюрками было массовым.

Несмотря на то что фамилия редкая, она — живой памятник восточной письменности и культуры, сохранивший в русском окончании имя, которое когда-то означало «преемник» и давалось с надеждой на продолжение рода и дела.