Фамилия Кадай — один из тех случаев, когда за коротким звучанием скрывается целый узел языковых и культурных связей. Сразу понятно, что это не русская фамилия в классическом понимании: в ней нет привычных суффиксов -ов или -ин. Её форма указывает на то, что она могла закрепиться в качестве прозвища, а затем и фамилии, на стыке тюркских, финно-угорских и славянских традиций.

Первая и наиболее очевидная версия ведет к тюркским корням. Слово «када» в ряде тюркских языков означало «кол», «жердь», «веха». Прозвище Кадай в таком случае могли дать человеку очень высокому, худощавому, с длинными ногами — образно «длинному, как шест». Такие прозвища по внешним признакам (Долговязый, Верста) были распространены повсеместно, и тюркская основа здесь выглядит логично и правдоподобно.

Вторая версия уводит нас в сторону финно-угорских языков, а именно в эрзянскую среду. Дохристианское личное имя Кадай могло образоваться от эрзянского глагола «кадомс» — «оставить, отложить». По народной традиции, такое имя нередко давали позднему, «запоздалому» ребенку, которого Бог, казалось, «оставил» напоследок. Эта практика именования «по обстоятельствам рождения» хорошо известна в ономастике мордовских народов.

Наконец, фамилия довольно часто встречается в Эстонии, что добавляет ещё один пласт. Здесь возможны две линии. Первая — от эстонского «kada» (рогатка, самострел, ловушка). Прозвище могло относиться к охотнику или человеку, делавшему такие ловушки. Вторая — от «kade» (завистливый, жадный), что дало бы прозвище по черте характера. Выбрать что-то одно сложно, но географическая привязка к Эстонии делает эти варианты вполне реальными для части носителей фамилии.

Таким образом, фамилия Кадай — не монолитная история, а скорее веер возможностей. В каждом конкретном роду её значение могло быть своим: от внешности («длинный») до обстоятельств рождения («поздний») или занятия (охотник с рогаткой). С точки зрения словообразования, это типичная для неславянских фамилий модель, где прозвище или имя перешло в фамилию без дополнительных оформляющих суффиксов, что часто встречается у тюркских и финно-угорских народов.