Фамилия Кадышев — один из тех случаев, когда за привычным русским окончанием скрывается нерусская основа. Чаще всего её связывают с мордовским мужским именем Кадыш. Имя это образовано от эрзянского слова «кадом», что значит «оставить, покинуть, приберечь». Суффикс -ш- в мордовских языках — типичный способ образования мужских имён, так что имя Кадыш по смыслу можно понять как «оставленный» или «сбережённый» (возможно, долгожданный или поздний ребёнок). Фамилию по отцу дали как «сын Кадыша», то есть Кадышев.

Есть и другая версия, хотя она менее вероятна. В русских говорах «кадыш» — это название ремесла: бочар, бондарь, обручник, тот, кто делает кадки и бочки. Если прозвище Кадыш дали по занятию, то фамилия получилась бы профессиональной. Но против этой версии говорит распространённость фамилии: Кадышевы встречаются не в бондарных регионах, а в Поволжье, особенно в Мордовии и соседних областях. Там мордовское происхождение фамилии выглядит естественнее.

Обратите внимание на суффикс -ев, а не -ов. В русской модели фамилий суффикс -ев пишется после мягких согласных, шипящих и ц. В имени Кадыш основа заканчивается на шипящий, поэтому по правилам появилось -ев, а не -ов. Это не говорит о происхождении, но подтверждает, что фамилия оформлялась уже в русской среде по стандартным нормам.

Таким образом, если вы Кадышев, ваши предки скорее всего были мордвинами (эрзянами), а сам родоначальник носил имя Кадыш — «оставленный» или «прибережённый». Встречается фамилия и у русских, и у татар, но в обоих случаях корень один — мордовское имя, которое перешло в соседние народы.