Фамилия Карданская звучит так, будто её носительница родом из места с необычным названием. И это первая и самая очевидная версия: перед нами типичная «географическая» фамилия, образованная по модели «название местности + суффикс -ск- + окончание -ая». Такие фамилии в XIX веке часто получали семинаристы (по месту рождения или приходу) или дворяне — по названию родового имения. Если существовало село, деревня или урочище Карданы, Карданово или Карданка, то выходец оттуда становился Карданским (а его жена или дочь — Карданской). Следы таких топонимов есть: например, деревня Карданово в бывшей Вятской губернии, а также несколько хуторов с похожими корнями на юге России.

Второй, менее распространённый путь — происхождение от прозвища или мирского имени. Основа «кардан» может отсылать к тюркскому слову «кардан» (родственник, собрат) или к диалектному русскому «карда» (загон для скота, огороженное место). В первом случае прозвище мог получить человек, поддерживающий крепкие родственные связи, во втором — пастух или владелец скота. Однако суффикс -ск- в русских фамилиях редко крепится напрямую к прозвищу — он характерен именно для «географических» и «семинарских» фамилий, поэтому версия с топонимом выглядит убедительнее.

Обратите внимание на окончание -ая. В современном русском языке фамилия склоняется как прилагательное: Карданская, Карданской, Карданскую. Это указывает на её относительно позднее оформление (не раньше XVIII века) и на то, что первоначально она бытовала в среде, где ценилась «благородная» модель фамилии — среди духовенства или мелкопоместного дворянства. В крестьянской среде такие фамилии встречались реже.

Сравните с однокоренными фамилиями: Карданов (она распространена у осетин и кабардинцев, где «Кардан» — личное имя тюркского происхождения), Кардан, Карданюк. Карданская стоит особняком: она явно русская по словообразовательной модели и привязана к конкретному месту. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать не предка-родственника, а точку на карте — деревню или погост, откуда пошёл род.