Фамилия Каргашинский образована от тюркского прозвища Каргаша, которое восходит к турецкому слову kargaşa — «беспорядок». Так могли назвать смутьяна, нарушителя порядка или суетливого, непоследовательного человека, а также шаловливого ребёнка. Таким образом, фамилия указывает на особенность характера предка.

Словообразовательная модель здесь необычна: к основе Каргаш- добавляется суффикс -ин-, а затем фамильный формант -ский. Такая конструкция встречается реже, чем простые -ов/-ев или -ин, и обычно указывает на дворянское или шляхетское происхождение, либо на формирование фамилии по географическому принципу — от названия места. В случае с Каргашинским возможна вторичная версия: фамилия могла возникнуть от названия населённого пункта вроде Каргашино или Каргашин, а уже оттуда — через прозвище или фамилию переселенца.

В исторических документах, собранных С. Б. Веселовским, встречаются ранние носители схожих имён: Каргашин Андрей Сурин Иванович, 1597 год, Тула; а также крестьянин Филя Каргашка, 1613 год, Арзамас. Эти записи показывают, что прозвище бытовало в центральной России уже в XVI–XVII веках, причём среди разных сословий — от служилых людей до крестьян.

Фамилия Каргашинский — редкая, с двойной суффиксацией, что выделяет её среди однокоренных вариантов (Каргашин, Каргашов). Если ваши предки носили её, они могли быть либо потомками того самого «смутьяна» из тюркской среды, либо выходцами из деревни с похожим названием, чья фамилия закрепилась через прилагательное на -ский.