Фамилия Каунева — женская форма, а её мужской вариант — Каунев. В основе фамилии лежит прозвище или нецерковное имя Каун. Слово «каун» в русских говорах имеет два основных значения. В центральных и южных областях так называли аиста — птицу, которая у славян считалась символом семейного счастья, чистоты и верности. Прозвище Каун могли дать высокому, длинноногому человеку или тому, кто, по наблюдениям окружающих, был заботливым отцом и мужем.

Вторая версия связывает фамилию с украинским и белорусским диалектным словом «кавун» (арбуз). В украинском языке начальное «к» перед «а» в некоторых говорах могло смягчаться, а «в» — выпадать, превращая «кавун» в «каун». Так могли прозвать бахчевода, торговца арбузами или просто любителя этой ягоды. Если предок носил прозвище Кавун, то при записи фамилии в русских документах буква «в» могла быть утрачена по ошибке писаря или из-за местного произношения.

Суффикс -ев указывает на типичную модель образования русских фамилий от основ на мягкий согласный (Каун-ев). Это отчество по происхождению: Каунев — «сын Кауна». Фамилия сравнительно редкая, её географическое распространение тяготеет к южнорусским областям и приграничным с Украиной регионам, где оба значения слова «каун» были в ходу.

Встречаются однокоренные фамилии: Каунов (от той же основы, но с суффиксом -ов, что говорит о твердом окончании исходного прозвища), Кавун, Кавунов. Спор между версиями «от аиста» или «от арбуза» решается только знанием конкретной семейной истории — где жили предки и каким ремеслом занимались.