Фамилия Каьышева — редкий случай в русской ономастике, где написание сразу настораживает: мягкий знак перед «ы» выглядит нехарактерно для славянских фамилий. Скорее всего, мы имеем дело с искажением при записи или с фамилией, возникшей в регионе, где русский язык соседствовал с тюркскими или кавказскими языками. Основа «Каьыш» в таком виде не встречается ни в одном известном ономастическом словаре, поэтому разумно предположить, что это вариант фамилии Кавышев или Канышев, записанный на слух с местным произношением.

Если отталкиваться от наиболее вероятного прочтения, фамилия образована по стандартной русской модели: основа + суффикс -ев (в женском роде -ева). Суффикс указывает на принадлежность: «чей?» — Кавышев, то есть потомок человека по прозвищу Кавыш. Прозвище Кавыш могло возникнуть от диалектного глагола «кавышать» — говорить невнятно, мямлить, или от «кавыш» — так в некоторых говорах называли засохший навоз, лепёшку. Второй вариант грубоват, но в русских деревнях такие бытовые прозвища были обычным делом.

Не исключено, что основа восходит к тюркскому корню «кавы» (твердый, крепкий) или «кабыш» (встреча, соединение). В таком случае фамилия могла принадлежать потомкам выходцев из татарской или башкирской среды, которые обрусели, но сохранили звуковой облик фамилии. Мягкий знак в середине — типичная ошибка писаря или паспортиста, который на слух записал «Каьышева» вместо «Кавышева», попытавшись передать мягкое произношение первого слога.

Географически такие фамилии чаще встречаются в Поволжье, на Урале или в Западной Сибири — зонах активного смешения русского и тюркского населения. Сословно носители могли быть крестьянами или однодворцами, реже — мещанами. Точных данных о происхождении именно этой ветви нет, но написание «Каьышева» — верный признак того, что фамилия прошла через руки малограмотного чиновника, и её первоначальный вид стоит искать в документах XIX века.

Если вы ищете свои корни, советую проверять оба варианта — Кавышев и Канышев, а также обращать внимание на метрические книги регионов с тюркским населением. Сама по себе фамилия не знатная и не древняя, но её необычная орфография — живая зацепка для поиска.