Фамилия Каюн — редкий пример, когда прозвище могло возникнуть из церковной, а не бытовой сферы. Её основа — глагол «каять» (порицать, осуждать) или возвратный «каяться» (сознавать проступок, жалеть). Так что прозвище Каюн, скорее всего, получил человек, который либо сам постоянно каялся, либо укорял других. Второй вариант — более резкий: «каюн» могли называть того, кто выговаривает, стыдит, читает нотации.

Слово «каяться» в древнерусском языке имело и более сильный оттенок — «исповедоваться в грехах». Отсюда прямая связь с таинством покаяния, которое в православии и католичестве предшествует причащению. Поэтому Каюном могли прозвать не просто брюзгу, а человека, который часто и подолгу исповедовался, возможно, даже набожного или строгого блюстителя нравов. Такое прозвище могло закрепиться за прихожанином, известным своей покаянной ревностью, или за самим священником, если он был особенно требователен к исповеди.

Суффикс -ун в русских прозвищах и фамилиях типичен для характеристики человека по действию (болтун, молчун, бегун). Каюн — того же ряда: тот, кто кает или кается.

У фамилии есть и другая, менее очевидная версия. В тюркских языках (татарском, башкирском) «каюн» означает «дыня». Это могло быть прозвище земледельца или торговца бахчевыми. Однако для русской фамилии эта версия слабее: географически фамилия Каюн встречается не в южных бахчеводческих регионах, а в центральных и северных областях России (например, в Вологодской, Кировской, Костромской). Там дыни не выращивали, и тюркское заимствование маловероятно.

По словообразовательной модели фамилия Каюн — это «застывшее» прозвище без патронимического суффикса (-ов, -ин). Такие бессуффиксные фамилии — редкость, обычно они указывают на древность происхождения (XV–XVI века), когда прозвище ещё не успело обрасти родовым окончанием.

Таким образом, наиболее правдоподобное объяснение: фамилия Каюн происходит от древнерусского прозвища, связанного с покаянием или порицанием, и сохранила архаичную форму без суффикса.