Фамилия Казаринсков — один из тех случаев, когда географическая привязка оказывается важнее, чем разбор корня. На слух она кажется производной от «казарин» (житель Казари, старого названия Казани или выходец из Казани), но суффикс -ск- здесь необычен: он стоит не на конце, а внутри фамилии, перед -ов. Получается, что перед нами не типичное «Казарин + ов», а более сложная конструкция: Казаринск + ов. Это значит, что предок получил прозвище или фамилию не напрямую от «казарина», а от названия населённого пункта — скорее всего, деревни или села Казаринское (или Казаринск).

Такая модель — оттопонимическая фамилия с суффиксом -ск(ий), который потом «обрусел» до -сков — характерна для южнорусских и украинских земель, особенно для Курской, Орловской, Воронежской губерний. Там нередко крестьянам давали фамилии по месту жительства: кто из Казаринского — тот Казаринсков. Двойной суффикс -ск-ов — признак того, что фамилия сложилась не в XVI–XVII веках у служилых людей (у них были бы Казариновы или Казаринские), а позже, в XVIII–XIX веках, в среде крестьянства. Это не дворянская фамилия, а бытовая, «деревенская», что подтверждается её редкостью.

Сам корень «Казар-» в основе названия села восходит к тюркскому слову «казар» или «хазар» — так на Руси называли хазар, либо к гидрониму (река Казарка). Но в массовом сознании XIX века он уже слился с «казан» и «казак», поэтому носители фамилии могли трактовать её как «потомок выходца из Казани». Это народная этимология, но она не лишена логики: если человек переехал из Казанского края, его могли записать как Казарина, а его сыновей — Казаринсковыми.

Встречается фамилия в основном в Центральном Черноземье и в Сибири — туда переселенцы из тех краёв уходили в столыпинскую эпоху. Написание с конечным -ов, а не -ой (Казаринской) — верный признак, что фамилия фиксировалась уже в советских паспортах, где стандартизировали мужские фамилии на -ов. В дореволюционных записях могла выглядеть как Казаринсковъ или даже Казаринской.

Коротко: ваши предки — не казаки и не казанские татары, а крестьяне из села с названием Казаринское, скорее всего, в Курской или Воронежской губернии. Фамилия редкая, что делает её хорошим маркером для генеалогического поиска — если найдёте деревню Казаринское, считайте, что вы на верном следу.