Фамилия Кислая — одна из тех, что образована напрямую от прозвища, без добавочных суффиксов. Это так называемая «окаменевшая» форма прилагательного в женском роде. Такие фамилии (Кислая, Сладкая, Грустная) встречаются реже, чем стандартные на -ов/-ин, и часто указывают на то, что прозвище закрепилось за женщиной — либо за вдовой, либо за хозяйкой дома, либо за матерью, по которой детей называли «Кислые дети». Второй вариант: фамилия могла закрепиться за женщиной, если она была главой семьи или получила прозвище первой.

Само прозвище Кислый, от которого всё пошло, многозначно. Самая прямая версия — профессиональная: предок занимался квашением и солением. На Руси изготовление квашеной капусты, солёных огурцов и мочёных яблок было делом распространённым, и мастера этого дела легко могли получить прозвище по продукту своего труда. Кислый — тот, кто делает кислое, или тот, кто его продаёт.

Другое объяснение — переносное. Слово «кислый» издавна означало не только вкус, но и характер: вялый, унылый, скупой на эмоции человек. В словарях Даля и других лексикографов зафиксировано именно это значение — «неэнергичный, меланхоличный». Кислым могли прозвать и просто медлительного, и вечно недовольного человека.

Есть и третья версия, менее очевидная, но правдоподобная: в некоторых говорах «кислый» означало «пьяный», «хмельной» — отсылка к кислому вину или браге. Прозвище могло закрепиться за любителем выпить или за виноделом.

Интересно, что фамилия Кислая чаще встречается в южнорусских и украинских регионах, где были сильны традиции домашнего квашения и где модель фамилий-прилагательных в женском роде более распространена (сравните: Шевченкова, Соленая). В северных и центральных областях ту же основу чаще оформляли суффиксами: Кислов, Кислицын.

По сословной принадлежности носителей фамилии Кислая найти что-то общее сложно: прозвище не было статусным, его могли дать и крестьянину, и посадскому человеку. Но если опираться на профессиональную версию, то предок, скорее всего, был ремесленником или мелким торговцем, связанным с заготовкой и продажей солений.