Фамилия Кивелова — женская форма, но для разбора удобнее взять мужской вариант — Кивелов. Это типичная русская фамилия, образованная с помощью патронимического суффикса -ов. Основа здесь — прозвище или неканоническое имя Кивел. В русской ономастике суффикс -ов указывает на принадлежность: Кивелов буквально значит «сын Кивела» или «из рода Кивела».

Самая вероятная версия происхождения основы — от слова «кивела» или «кивель», которое в диалектах русского языка (особенно северных и уральских) означало нечто взъерошенное, торчащее, растрёпанное. Например, в архангельских говорах «кивела» — это непослушные, торчащие в разные стороны волосы, вихры. Прозвище Кивел могли дать человеку с кудрявой, лохматой или непокорной шевелюрой. Такие прозвища по внешнему признаку — одни из древнейших, они закреплялись за родом и переходили в фамилии.

Менее распространённая, но возможная версия связывает Кивелова с финно-угорскими корнями, что логично для северных регионов России. В коми-пермяцком или удмуртском языках есть слова, близкие по звучанию, означающие «колючка», «шишка» или «корявый». Если предки носителя фамилии жили в Прикамье или Вятке, прозвище могло иметь именно такое, неславянское происхождение. Однако русская словообразовательная модель с суффиксом -ов говорит о том, что фамилия давно обрусела и воспринималась как своя, родная.

Географически фамилия Кивелова встречается нечасто, но заметна в Пермском крае, Кировской области и на Урале. Это подтверждает версию о диалектном или финно-угорском следе. Встречаются также варианты написания с одной «л» — Кивелова, что не меняет сути, но может указывать на более позднюю фиксацию в документах.

Социально фамилия, скорее всего, крестьянская или посадская. В среде дворянства такие «прозвищные» фамилии на -ов встречались реже, а среди крестьян и горожан были обычным делом: прозвище давалось по характерной черте, и дети наследовали его уже как родовое имя. Таким образом, предки современных Кивеловых — это люди, которых в их деревне или слободе знали по кудрявой, лохматой голове или, если верна вторая версия, по суровому нраву и цепкости.