Фамилия Кивер — редкий случай, когда форма слова почти не изменилась с XVII века, а её значение прозрачно даже без словаря. В основе лежит существительное «кивер» — высокий головной убор военного образца, который носили гусары, уланы и пожарные в Российской империи. Прозвище Кивер могли дать человеку, который всегда носил такой головной убор, выделялся им, либо мастеру, который их шил или делал. Однако есть и вторая, бытовая версия: в некоторых южнорусских говорах «кивер» означало шапку вообще, любую, а не только форменную.

Словообразовательная модель проста: фамилия бессуффиксная, то есть образована напрямую от прозвища без добавления -ов, -ин или -ский. Такие фамилии (Кивер, Голова, Кожух) чаще всего встречались на Украине и в Белоруссии, где прозвища переходили в фамилии в более ранний период, чем в центральной России. Если бы фамилия оформлялась русским суффиксом, мы бы имели Киверов или Киверин; польский вариант дал бы Киверский.

Интересная деталь: в метрических книгах XIX века фамилия Кивер встречается преимущественно в Подольской и Волынской губерниях, а также среди казачества Кубани. Это наводит на мысль, что предки носителя фамилии могли быть либо отставными военными, осевшими на южных землях, либо ремесленниками, обслуживавшими армейские части. Сравните с однокоренными фамилиями Киверов (более поздняя русификация) и Киверный (от прилагательного «киверный» — относящийся к киверу).

Никаких дворянских корней у фамилии нет — это типичная фамилия-прозвище, возникшая в среде служилых людей, казаков или мещан. Встретить её в боярских списках или родословных книгах не удастся.