Фамилия Клещевниковы образована по стандартной для русских фамилий модели: к основе прозвища Клещевник добавили патронимический суффикс -ов, означающий «сын» или «потомок». Само прозвище Клещевник — имя деятеля, которое построили с помощью суффикса -ник от слова «клещи». Выходит, что Клещевников — буквально «сын того, кто делает клещи».

Клещи — древнейший инструмент, который в первую очередь использовали кузнецы для удержания раскалённого металла. Позже клещи распространились в плотницком, столярном и слесарном деле. Поэтому Клещевником могли прозвать не только кузнеца, но и любого ремесленника, чья работа была связана с этим инструментом — например, мастера по изготовлению самих клещей.

Одно из ранних упоминаний прозвища встречается в «Ономастиконе» С. Веселовского: крестьянин Нефед Клещевник из Арзамаса, 1610 год. Эта запись — не просто дата, а указание на географию: Арзамасский уезд в XVII веке был районом активного расселения служилых людей и крестьян, где ремёсла, в том числе кузнечное, были развиты. Так что корни фамилии могут уходить в Нижегородское Поволжье.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с топонимом: в России есть несколько рек и урочищ с названием Клещевня, а также сёла Клещево. Тогда Клещевником могли называть выходца из такого места. Но ремесленная версия выглядит надёжнее из-за прозрачной словообразовательной модели «предмет + -ник» (ср. Тележников, Топорников, Кочергин, но с другим суффиксом).

Фамилия Клещевников — нечастая, но не уникальная. Есть однокоренные Клещев и Клещёв, а также фамилии Клещин, Клещов, образованные от того же корня, но по другой модели. Клещевниковы могли быть как крестьянами, так и посадскими ремесленниками — сословная принадлежность зависела от конкретной ветви рода.