Фамилия Клещев (и её вариант Клещёв) происходит от прозвища Клещ. В основе лежат два возможных источника, и оба стоит рассмотреть.

Первая версия — профессиональная. Прозвище могли дать человеку, который работал с инструментом «клещи». Это слово когда-то обозначало любые щипцы: кузнечные, столярные, слесарные. Назвать мастера по его главному орудию — обычная практика в русских прозвищах. Но сказать, каким именно ремеслом занимался основатель рода, трудно: клещи использовали в десятках работ — от ковки до выдёргивания гвоздей.

Вторая версия — от насекомого клещ. В этом случае прозвище носило иронический оттенок. Так могли назвать навязчивого, прилипчивого или вредного человека — по аналогии с поведением паразита. В народной культуре такие прозвища давали не столько за внешность, сколько за характер.

Оба корня — и инструмент, и насекомое — звучат одинаково, поэтому точно определить, какой из них сработал в каждом конкретном случае, невозможно. Скорее всего, фамилия возникала в разных семьях независимо, и мотивы у предков могли быть разными.

Фамилия образована по стандартной русской модели: к основе «Клещ» добавили суффикс принадлежности -ев (фонетический вариант -ов после шипящих). Получилось отчество-фамилия: «чей? — Клещев», то есть сын или потомок Клеща.

Форма Клещёв с буквой «ё» — более старая и точная с точки зрения произношения. На письме «ё» часто заменяли на «е», поэтому оба написания относятся к одной фамилии. В документах XVIII–XIX веков можно встретить оба варианта даже у одной семьи.