Фамилия Клещов образована от прозвища Клещ. В основе лежит название насекомого или клеща-паразита. Прозвище могли дать человеку с цепким, въедливым характером, который «вцепляется» в собеседника или дело, не отстаёт до результата. Реже — за внешнее сходство, например, за маленькие глаза или особую примету на коже.

Суффикс -ов указывает на типичную русскую модель образования: Клещ → Клещов, то есть «сын Клеща» или «из семьи Клеща». Фамилия встречается в основном в центральных и южных регионах России, где было развито сельское хозяйство и прозвища по животному миру были особенно распространены.

Интересная деталь: в отличие от более частых фамилий вроде Клещёв (от «клещ» с чередованием е/ё), написание Клещов встречается реже. Это может указывать на диалектное произношение или на фиксацию фамилии в документах до реформы орфографии, когда буква «ё» не была обязательной. Поэтому Клещов и Клещёв — не один и тот же род, а разные ветви, закрепившие написание по-своему.

Версия о происхождении от древнерусского нецерковного имени Клещ тоже возможна: такие имена-насекомые (Жук, Муха, Комар) давали в языческой традиции, чтобы «обмануть» злых духов и уберечь ребёнка. Носители фамилии Клещов в XIX веке записаны в основном среди крестьян и мещан, что подтверждает прозвищное, а не служилое происхождение.