Фамилия Клевов образована по самой распространённой в русской антропонимии модели — от прозвища или имени с помощью патронимического суффикса -ов. В основе лежит слово «клев». И здесь сразу возникает несколько версий, и самая прямая из них — рыболовная.

Клёвом называют клюющую рыбу или сам момент поклёвки. Прозвище Клев могли дать заядлому рыболову, у которого «клёв отменный», или, наоборот, неудачливому — в насмешку. В говорах слово «клёвый» означало «хороший, подходящий, отличный», и прозвище Клев могло закрепиться за человеком с положительной характеристикой — ловким, умелым, «клёвым» в старом, диалектном смысле. Вторая версия — орнитологическая: от глагола «клевать». Прозвище Клев мог получить человек, похожий на птицу (например, с длинным носом) или имевший привычку клевать носом, засыпая на ходу.

Спорная, но возможная версия — связь с названием реки Клев (Клёв) или топонимом Клево. Такие названия встречаются в западных регионах, но для массовой русской фамилии этот путь менее характерен, чем прозвищный.

Фамилия Клевов фиксируется в основном в центральных и северных областях России. Встречается она нечасто, что типично для фамилий, образованных от прозвищ, не связанных с церковным именем. По сословной принадлежности предки Клевовых могли быть и крестьянами, и мещанами, и даже священнослужителями — прозвище не даёт однозначной подсказки. Важная деталь: в старых документах фамилию могли писать через «ё» — Клёвов, что прямо указывает на ударение и на исходное слово «клёв». В современном написании буква «ё» часто заменяется на «е», но произносительное ударение остаётся на первом слоге: Клёвов.

Родственными по корню можно считать фамилии Клёв, Клевакин, Клевцов — все они восходят к той же гнездовой основе, связанной с клёвом, клевком или «клёвостью».