Фамилия Клевцур — редкий случай, когда финаль «-ур» не является суффиксом, а входит в основу. Это сразу отличает её от типичных русских фамилий на -ов, -ин или -ский. В русском языке такой модели почти нет, что указывает на иноязычное происхождение, скорее всего, из украинского, белорусского или польского языков, где сочетание «-ур» в фамилиях встречается чаще.

Основная гипотеза связывает фамилию с украинским или польским словом «клевець» (klewiec) — молоток, кирка, кайло. В таком случае Клевцур — это профессиональное прозвище человека, работавшего с этим инструментом: камнетёса, кузнеца или горняка. Финаль «-ур» могла возникнуть как адаптация польского суффикса -arz (означающего деятеля), который в украинском произношении превратился в -ур. То есть «клевець» + «-ур» дало бы «клевцур» — «тот, кто работает с молотком». Вторая, менее вероятная версия — от личного имени Клевец (уменьшительное от Клементий или Клим) с той же суффиксальной приставкой.

География фамилии подтверждает западнорусское происхождение. Основная масса носителей Клевцур сосредоточена в западных областях Украины (Волынь, Ровенщина, Тернопольщина) и в приграничных районах Беларуси. В России фамилия встречается единично, чаще всего как результат миграции. В польских метриках XVIII-XIX веков можно найти записи Klewcùr или Klewcur, что указывает на давнюю традицию бытования именно в этом ареале.

Социально фамилия принадлежит к крестьянским или ремесленным. Никаких дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано, что типично для прозвищ, образованных от названий инструментов. Интересно, что звучание фамилии могло меняться в зависимости от диалекта: в польском она произносилась бы с ударением на последний слог (Клевцу́р), а в украинском и русском ударение сместилось на первый (Кле́вцур) — именно этот вариант и закрепился в документах.