Фамилия Климъюк — редкий случай в русской ономастике, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Окончание -юк указывает на западноукраинское или белорусское происхождение: в этих регионах суффикс -ук/-юк был типичным для фамилий, образованных от имён, прозвищ или профессий. Он означал «сын» или «потомок», то есть Климъюк — это буквально «сын Клима». Если бы фамилия формировалась в центральной России, она, скорее всего, звучала бы как Климович или Климов.

Основа фамилии — имя Клим, сокращённая форма от церковного имени Климент (от латинского clemens — «милостивый», «снисходительный»). В православной и католической традиции это имя было широко распространено благодаря святому Клименту I, папе Римскому, почитаемому как один из апостолов от семидесяти. В быту имя Клим нередко давали и простым людям, поэтому фамилия Климъюк могла возникнуть в крестьянской или мещанской среде на территории современной Западной Украины, юга Беларуси или пограничных с Польшей областей.

Особенность написания — твёрдый знак (ъ) в середине фамилии — архаичный элемент, который сохранился в дореволюционной орфографии. До реформы 1918 года твёрдый знак писали после согласных на конце слов и в некоторых позициях внутри слова, но в фамилиях он мог закрепляться как дань старому письму. Встречаются варианты Климюк (без ъ) и Климук — это те же фамилии, но записанные по новым правилам или в иной местной традиции. Такое написание — дополнительный маркер того, что фамилия зафиксирована в документах до начала XX века.

В ономастических трудах (например, в работах Б. Унбегауна) фамилии на -юк относят к характерным для Подолья, Волыни и Галиции. Климъюк — не исключение: носители этой фамилии, вероятно, были выходцами из сельской местности, где имя Клим было обычным, а суффикс -юк указывал на принадлежность к роду. Сословно — это, скорее всего, крестьяне или мелкие ремесленники, так как дворянские фамилии в этом регионе чаще имели окончания -ский или -ович. Никаких известных исторических личностей с такой фамилией в открытых источниках не зафиксировано, что типично для фамилии, распространённой в узком локальном кругу.