Фамилия Клиньшов — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а форма имени, которая сама по себе уже была уменьшительной. Разбираем словообразовательную цепочку: в центре — мужское имя Клим (разговорная форма от Климент, что значит «милостивый»). От него образовали просторечный вариант Климша — это как Ваня от Иван, но с суффиксом -ш-, характерным для северо-западных русских говоров и псковских земель. Затем к основе Климш- добавили фамильный суффикс -ов, и получился Клиньшов.

Ключевая особенность — появление мягкого знака. В живой речи и при записи фамилий в документах XIX века твёрдый звук [м] перед [ш] часто смягчался: «Климша» на слух превращалось в «Клиньша». Писарь фиксировал это смягчение буквой «ь», отсюда и необычное написание. Если бы фамилия образовалась строго по книжному правилу, мы бы имели Климашов или Климшов.

По модели образования Клиньшов — типичная «патронимическая» фамилия, то есть отвечающая на вопрос «чей сын?»: сын Клиньши, то есть сын человека по прозвищу Климша. Первые носители этой фамилии — крестьяне или посадские люди, скорее всего из Псковской, Новгородской или Тверской губерний, где суффикс -ш- в личных именах был особенно распространён. В дворянской среде такая «простонародная» форма вряд ли прижилась бы.

Встречаются однокоренные варианты: Климашов, Климшов, Климшин. Но Клиньшов стоит особняком — из-за мягкого знака фамилия выглядит архаичнее и указывает на то, что её записывали со слуха, а не по шаблону. Это не ошибка, а живая примета народной речи, застывшая в документе.