Фамилия Клинская образована от названия города Клин или от прозвища Клин. Разберём обе версии.

Первая и самая очевидная — топонимическая. Город Клин в Московской области известен с XIII века, а в 1482 году его присоединили к Московскому княжеству. Клин пережил опричнину в 1569 году, позже был вотчиной дома Романовых, а с 1785 года стал уездным городом. В 1851 году через него прошла Николаевская железная дорога. Предок, носивший фамилию Клинский или Клинская, мог происходить из этого города или его окрестностей. Суффикс -ск- в таких фамилиях указывает на принадлежность к местности: «тот, кто из Клина».

Вторая версия — от прозвища Клин. В основе лежит нарицательное «клин» — в первую очередь «участок поля» или «клин земли». Прозвище Клин могло указывать на место жительства (например, на клинообразном участке) или на род занятий (лесничий, землемер, тот, кто расчищал лес клином). В отличие от фамилий на -ов/-ин, суффикс -ский здесь придаёт оттенок «относящийся к такому-то человеку»: Клинский — потомок того, кого прозвали Клин.

Какая версия правдоподобнее? Обе рабочие, но топонимическая выглядит сильнее: фамилий, образованных от названия города Клин, в центральной России много (Клинский, Клинская), и география бытования фамилии чаще всего совпадает с историческими границами Московской губернии. Прозвищная версия менее вероятна, но полностью её исключать нельзя: в ономастике известны случаи, когда прозвище по форме участка или инструмента становилось основой для фамилии на -ский.

Главное, что объединяет обе гипотезы: фамилия Клинская — не случайная, а с ясной географической или прозвищной привязкой, и её носители, скорее всего, имели отношение к Подмосковью или земледельческому укладу.