Фамилия Клиша не слишком часта, но её происхождение прозрачно и укладывается в одну из типичных восточнославянских моделей. В основе лежит прозвище или неполное имя Клиш, которое, в свою очередь, является усечённой формой от крестильного имени Климентий (в просторечии Клим, Клементий). Суффикс -ша в таких именах — характерный для народной, бытовой речи уменьшительно-ласкательный или, точнее, усечённо-ласкательный формант. Он часто встречается в прозвищах и неофициальных именах, образованных от полных имён: Гриша (от Григорий), Миша (от Михаил), Паша (от Павел). По той же модели из Клима или Климентия получилось Клиша. Так могли звать младшего в семье, любимца или просто человека, которого называли сокращённо, по-домашнему.

Однако есть и вторая, более прозаичная версия. В южных и западных говорах, особенно на территории современной Украины и Беларуси, слово «клиша» могло означать «кривой», «косой» или относиться к человеку с хромотой, неровной походкой (сравните с «клишоногий»). В этом случае фамилия — не от имени, а от прозвища, данного по физическому недостатку или особенности. Такие прозвища были распространены повсеместно, но в официальные фамилии переходили реже, чем именные. Поэтому первая версия — от имени Климентий — выглядит более вероятной как массовая.

Фамилия Клиша — без суффикса, то есть застывшая в форме исходного прозвища. В русской традиции такие фамилии (на -а, -о) характерны для украинского и белорусского ареала, где они нередко оставались без изменений при переходе в фамилию. В России же подобные формы часто «обрусевали» добавлением суффикса -ов/-ев (Клишов) или -ин (Клишин). То, что фамилия сохранилась в виде Клиша, указывает на её возможное происхождение с территории современной Украины, Беларуси или юга России, где такая модель обычна. Сравните с фамилиями Шевченко, Бондарь, Коваль — все они тоже без дополнительных суффиксов.

В ономастических словарях, например в работах Б. Унбегауна, подобные фамилии на -ша обычно относят к группе, образованной от народных форм крестильных имён. Спорных гипотез, связывающих Клишу с тюркскими или финно-угорскими корнями, нет: звучание слишком прозрачно для славянского уха, а альтернативные версии не имеют под собой ни географической, ни исторической опоры. Так что предки носителей фамилии Клиша, скорее всего, были просто людьми по имени Климентий, которых в быту звали ласково Клишей, или, реже, человеком с заметной хромотой.