Фамилия Клюенко — характерный пример украинской модели фамилий на -енко, которая в XVII–XVIII веках стала самой распространённой на Левобережной и Слободской Украине. Суффикс -енко изначально означал «маленький» или «сын»: Клюенко — буквально «сын Клюя» или «маленький Клюй». Вопрос в том, что скрывается за основой Клю-.

Самая прямая версия — от прозвища Клюй. В украинских говорах «клюй» — это не только повелительная форма от «клевать», но и название птицы, дятла (через звукоподражание стуку). Прозвище Клюй могли дать болтливому человеку (как «долбит одно и то же»), либо тому, кто был похож на дятла — суетлив, настойчив, с длинным носом. Также «клюй» в некоторых диалектах означало скупого, прижимистого человека, который «клюёт по зёрнышку».

Есть и более редкая версия: основа может восходить к древнерусскому имени Клюй — сокращённой форме от Клюймир или Клюйслав (от «ключити» — «назначать, определять»). Такие имена встречались в домонгольской Руси, но к XVII веку они почти вышли из обихода, сохранившись лишь в фамилиях.

Географически фамилия Клюенко сосредоточена в центральных и восточных областях Украины — Черкасской, Полтавской, Киевской, а также на Кубани и в Ставрополье, куда фамилия попала с переселенцами в XIX веке. В России встречается редко, чаще всего в диаспоре.

Интересная деталь: у фамилии есть однокоренные «родственники» — Клюев, Клюяков, Клюйков. Если Клюев — русская патронимическая форма (от Клюй), то Клюенко — украинская. Разница в суффиксе как раз и показывает, из какой культурной среды вышла фамилия. Двойных форм (Клюенко и Клюев) в одной семье не бывает — это разные ветви одного корня.