Фамилия Клюцкая — женская форма фамилии Клюцкий, а та, в свою очередь, образована от географического названия. Типичная «польская» модель на -ский/-цкий указывает на дворянское или шляхетское происхождение в прошлом. Носители таких фамилий в XVI–XVIII веках часто владели землями или были выходцами из конкретного населённого пункта.

Основа — «Клюцк». Скорее всего, это название села или местечка. В Польше и на западе современной Беларуси есть несколько топонимов с корнем «Клюц»: например, деревня Клюцк (Kłuck) в Свентокшиском воеводстве или Клюце (Kłucie) в Подляшье. Сам корень, вероятно, восходит к древнепольскому «kłóć» — «колоть», «разделять», либо к диалектному «kluczyć» — «хитрить», «уклоняться». Впрочем, возможна и связь с личным именем Клюц — уменьшительной формой от Клемент (Клим) или от имени Клюка (в старину так называли человека с клюкой, хромого). Однозначного решения нет, и ономасты склоняются к версии о названии места.

Антропонимическая модель на -ский была особенно распространена среди литовско-русской и польской шляхты. В Российской империи после разделов Речи Посполитой многие носители фамилии Клюцкий (и Клюцкая) оказались в Волынской, Гродненской и Минской губерниях. Встречается фамилия и у православных, и у католиков — граница вероисповедания здесь не была жёсткой.

По сравнению с однокоренными фамилиями (Клюкин, Ключников, Клюев) Клюцкая стоит особняком: у неё нет очевидного прозвищного или профессионального корня. Если Ключников — сын ключника, а Клюкин — от прозвища Клюка, то Клюцкий почти всегда отсылает к конкретному месту. Это значит, что предки носительницы фамилии, скорее всего, были мелкими землевладельцами или арендаторами, чья фамилия закрепилась по названию усадьбы или деревни.

В современной России фамилия редкая, встречается в основном в центральных областях и на юге, куда переселялись крестьяне и обедневшие дворяне в XIX веке. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их следы в метрических книгах бывших западных губерний.