Фамилия Клюевская — это типичный пример «географической» фамилии, образованной по модели «топоним + суффикс -ск-». Если коротко: её дали человеку, который был родом из места под названием Клюево. Таких деревень в России несколько: одна в Псковской области, другая в Московской, и предок Клюевских, скорее всего, был выходцем из одной из них.

Суффикс -ск- в русских фамилиях чаще всего указывает на связь с местностью или принадлежность к ней. В дворянской среде такие фамилии нередко давались по названию родового поместья, но у крестьян и мещан они тоже встречались — когда человека записывали по месту рождения или жительства, особенно при переезде в другой уезд. Так что фамилия Клюевская могла возникнуть и в крестьянской, и в духовной среде (семинаристы часто получали фамилии по названиям сёл).

Само название Клюево, скорее всего, произошло от личного прозвища Клюй. Тут есть два основных объяснения, и оба имеют под собой диалектную почву. Первое: в архангельских говорах «клюй» означало «сонливый», «клюющий носом» — человека, который то и дело задрёмывает. Второе: от прилагательного «клювый», то есть «хороший, статный, видный, красивый». В разных регионах России слово «клювый» имело и положительный, и нейтральный оттенок — «ладный», «подходящий». Какая из версий верна для конкретного Клюя, теперь не установить, но обе возможны.

Фамилия Клюевская — женская форма. Мужской вариант — Клюевский. Встречается она нечасто, и это неудивительно: фамилии на -ский/-ская, образованные от небольших деревень, обычно оставались локальными. Сравните с однокоренными Клюев, Клюевых — они могли возникнуть независимо, от того же прозвища Клюй, но уже без привязки к конкретному селу. Клюевская же жёстко привязана к топониму и, скорее всего, распространилась вместе с переселением выходцев из Клюева.