Фамилия Кочагин образована по одной из самых распространённых в русском языке моделей: от прозвища или имени при помощи суффикса -ин. Суффикс -ин, в отличие от -ов, присоединялся к основам, оканчивающимся на -а или -я. В основе фамилии лежит прозвище Кочага.

Само слово «кочага» в русских говорах имело несколько значений, и это даёт нам две основные версии происхождения. Первая, самая прямая, связана с кочергой — инструментом для перемешивания углей в печи. В разных диалектах «кочага», «кочерга», «кочеряга» — это одно и то же. Прозвище Кочага мог получить человек, который постоянно возился у печи, пекарь, или же кто-то с характерным внешним видом — сгорбленный, худой, похожий на изогнутую палку.

Вторая версия менее очевидная, но не менее интересная. В некоторых областях «кочага» означала кочерыжку — плотную сердцевину кочана капусты, а также вообще коротышку, плотного и крепкого человека. В таком случае прозвище указывало на коренастое телосложение или невысокий рост.

Есть и третий, более редкий вариант: «кочага» могло быть диалектным названием для деревянного крюка, которым что-то доставали из воды или подвешивали. Здесь прозвище прикреплялось к человеку по роду занятий — возможно, к рыбаку или ремесленнику.

С географической точки зрения фамилия Кочагин тяготеет к центральным и северным областям России, где слово «кочага» в значении «кочерга» было особенно употребительно. Встречается она и в Поволжье. Сословного барьера у неё не было: прозвище могли дать и крестьянину, и ремесленнику, и служилому человеку. В документах XVII-XVIII веков фамилия фиксируется в разных уездах, что говорит о её повсеместном, хотя и не массовом распространении.

Таким образом, предок людей с фамилией Кочагин был, скорее всего, человеком, получившим прозвище по одному из этих бытовых признаков — либо по работе у печи, либо по внешности, либо по профессии. Выбор между версиями зависит от того, какой смысл вкладывали в слово «кочага» в конкретной местности.