Прозвище Кочергай образовано от слова "кочерга". Видимо, прозвище Кочергай могли дать человеку за определенные внешние качества, либо за свойства характера. Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Кочергай, со временем получил фамилию Кочергаев.