Фамилия Кочержинская — один из тех случаев, когда в основе лежит не имя, а прозвище, причём самое что ни на бытовое: Кочерга. Казалось бы, что общего у человека с железным прутом для перемешивания углей? Но в народной традиции прозвища давали не по сходству с предметом, а по ассоциации: кочерга длинная, изогнутая, чёрная от сажи. Так могли прозвать сутулого, сгорбленного человека или, наоборот, долговязого и худого. Есть и версия, что прозвище относилось к числу «профессиональных» — его мог получить кузнец или мастер, постоянно работавший с огнём и углями.

Фамилия образована по типичной для польских, украинских и западнорусских земель модели: основа Кочерг- плюс суффикс -ин- (притяжательный, указывающий на принадлежность «чей?») и окончание -ская, характерное для дворянских и шляхетских фамилий. Получается «Кочержинская» — буквально «принадлежащая к роду Кочергиных» или «выходящая из местности, связанной с Кочергой». Наличие суффикса -ск- нередко говорит о том, что предок носителя фамилии был человеком служилым или владел землёй.

В «Ономастиконе» С. Б. Веселовского упоминаются однофамильцы: Кочергин Яков, дьяк великой княгини Марьи Ярославны (1447 год), и его сыновья Иван и Константин, числившиеся дворянами в новгородском походе 1495 года. Это ценная зацепка: она показывает, что прозвище Кочерга уже в XV веке бытовало в среде московской служилой знати, а не только среди крестьян. Со временем прозвище настолько закрепилось за родом, что вытеснило исходное крестильное имя — в документах потомков уже писали просто «Кочергины».

Форма Кочержинская — женский вариант, но в русской традиции фамилии на -ский/-ская не склоняются по роду в значении принадлежности к роду, а просто указывают на замужнюю или незамужнюю женщину из этой семьи. Если ваш предок носил фамилию Кочержинский, он мог быть выходцем из местечка или села с похожим названием (например, Кочергино или Кочержин), либо происходить из семьи, где прозвище Кочерга передавалось из поколения в поколение.