Прозвище Кочерга образовано от слова "кочерга". Видимо, прозвище Кочерга могли дать человеку за определенные внешние качества, либо за свойства характера. Чередование гласных г/ж объясняется историческими изменениями. Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Кочерга, со временем получил фамилию Кочержина.