Фамилия Колаева — женская форма, но в русской традиции её разбирают по мужскому варианту Колаев. Основа здесь — личное имя или прозвище Кола́й. Это уменьшительная форма от канонического имени Николай, образованная усечением (Кол- + -ай). В дореволюционной России такие сокращения были обычны в крестьянской и мещанской среде: Коляй, Кола́й, реже Колай — оттуда и пошли Колаевы.

Суффикс -ев указывает на принадлежность: «чей?» — Колаев, то есть сын или потомок Колая. По той же модели возникли фамилии Колаевский, Колаенко, Колаич. Интересно, что параллельно существует осетинская фамилия Колаев (с ударением на последний слог) — там корень другой, от тюркского или иранского имени, но в русском контексте Колаев почти всегда восходит к Николаю.

Географически фамилия встречается рассеянно: в центральной России, Поволжье, на Урале. Большого дворянского рода Колаевых нет — это фамилия поздняя, сформировавшаяся в XVIII–XIX веках, когда крестьянам массово давали фамилии по отчествам. Если ваш предок носил прозвище Кола́й, он мог быть плотником, пахарем или солдатом — имя не указывает на ремесло, только на имя деда.

Спорных версий происхождения практически нет. Иногда пытаются связать Колаева с тюркским «кол» (рука, раб) или с калмыцким «кола» (заяц), но эти гипотезы слабы: в русских говорах нет следа такого прозвища, а суффикс -ев типичен именно для славянских фамилий от христианских имён. Так что самый прямой ответ: Колаевы — это те, чей предок звался Колаем, то есть попросту Николаем.