Фамилия Конагова — женская форма фамилии Конагов. Если отбросить типичный русский суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей сын?»), в основе остаётся корень Конаг-. Здесь и кроется главная особенность: эта фамилия почти наверняка имеет тюркское или кавказское происхождение, а не славянское.

Скорее всего, основа восходит к тюркскому слову «конак» (или «конаг» в некоторых диалектах), что значит «гость», «путник», «постоялец». В тюркских языках, особенно в кумыкском, балкарском, карачаевском, слово «къонакъ» (гость) — одно из ключевых понятий гостеприимства. Прозвище Конак могли дать приезжему человеку, чужеземцу, который поселился в новой местности, или же, наоборот, хлебосольному хозяину, который часто принимал гостей. Встречается также вариант «конаг» со значением «ставка», «лагерь» — тогда прозвище могло относиться к человеку, жившему на перепутье дорог или при дорожной станции.

Модель образования проста: к основе Конак/Конаг прибавили русский фамильный суффикс -ов, а затем к мужской форме добавили окончание -а для женской. Такое «обрусение» окончаний типично для многих фамилий народов Северного Кавказа и Поволжья, которые в XIX–XX веках фиксировались в российских документах. Поэтому географически фамилия Конаговы (и Конаговы) чаще всего встречается в Кабардино-Балкарии, Карачаево-Черкесии, Дагестане, а также среди кумыков и ногайцев.

Другая, менее распространённая версия связывает фамилию с осетинским именем Кона (уменьшительное от Константин) с добавлением суффикса -аг, который в осетинском указывает на происхождение («из рода Кона»). В этом случае Конагов — «потомок Кона». Однако эта версия менее убедительна, так как суффикс -аг в осетинских фамилиях обычно даёт окончание -ата (например, Коната), а не -ов.

Таким образом, предок носительницы фамилии Конагова, скорее всего, был человеком, которого в своё время прозвали Гостем — либо потому, что он был пришлым, либо из-за его знаменитого гостеприимства. Фамилия сохранила память об этом качестве, перейдя из прозвища в официальный род.