Фамилия Кониева — женская форма фамилии Конев, и её разбор стоит начать не с основы, а с суффикса. Формант -ев (в мужском варианте Конев) указывает на принадлежность: «чей?» — Конев, то есть сын или потомок Кона. Это типичная русская патронимическая модель, самая распространённая в России. В отличие от фамилий на -ин (которые чаще образуются от основ на -а/-я), фамилии на -ов/-ев идут от основ на твёрдый согласный.

Основа — Конь. Но здесь есть нюанс: прямое прозвище Конь в старину давали не конюху и не торговцу лошадьми, а человеку с какими-то «лошадиными» чертами: высокому, сильному, работящему, либо, наоборот, с крупными зубами или длинным лицом. В ономастике известен случай: в новгородских писцовых книгах XV века записан крестьянин Конь, а его сын записан уже как Конев. То есть прозвище было личным именем до введения обязательных фамилий.

Региональная привязка у фамилии Конев (и Кониева) — север и северо-восток России. По данным переписей XIX века, фамилия была особенно частотна в Вятской, Пермской и Архангельской губерниях. Это объяснимо: именно там долго держалась традиция мирских (нецерковных) имён, и прозвища вроде Конь, Бык, Волк легко становились фамилиями.

Встречается и более редкая версия: от тюркского имени Коней (Куней), что значит «солнце» или «свет». Но для фамилии Кониева эта гипотеза слабая — во-первых, суффикс -ев в таком случае давал бы фамилию Конеев, а не Конев, во-вторых, тюркские фамилии с таким корнем чаще встречаются в южных регионах, а не на Русском Севере. Так что основная версия — прозвище Конь.

Форма Кониева возникает при склонении: если мужчина носит фамилию Конев, то его жена или дочь — Конева. Но написание через «и» (Кониева) — это либо орфографическая ошибка (встречается в документах), либо фамилия, записанная через «и» по диалектному произношению (в северных говорах «о» в безударном положении могло звучать как «и»). В любом случае, этимологически это та же фамилия.