Фамилия Конуркины — редкий пример, где основа не очевидна, а суффикс даёт ключ к разгадке. Она образована по модели притяжательных прилагательных с суффиксом -ин, который в русских фамилиях указывает на принадлежность: «чей?» — конуркин, то есть сын или потомок человека по прозвищу Конурка.

Само прозвище Конурка — это уменьшительная форма от слова «конура». В старину так могли назвать человека не по собачьей будке, а по переносному значению: маленькое, тесное жильё, ветхая избушка. Вероятно, прозвище закрепилось за тем, кто жил в бедной, крохотной лачуге, или за невысоким, щуплым человеком — «забившимся в конурку». В говорах встречалось ироничное «конура» в значении «нелюдимый, домосед», что тоже могло стать источником фамилии.

Словообразовательная цепочка прозрачна: конура → Конурка (прозвище) → Конуркин (сын Конурки). Фамилия на -ин типична для северных и центральных областей России, где такие формы вытеснили общеславянские -ов/-ев у прозвищ на -а, -я. Встречаемость фамилии крайне низкая, что подтверждает её происхождение от локального, возможно, однодворческого прозвища, не успевшего распространиться широко.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Конуров, Конурин — показывает, что вариант Конуркин стоит особняком. Унбегаун в «Русских фамилиях» отмечает, что суффикс -ин у основ на -ка часто давал двойное написание (ср. Козин и Козьмин), но здесь уменьшительный суффикс -к- уже входит в основу прозвища, а не фамилии. Поэтому Конуркин — не «маленькая конура», а именно «потомок Конурки».

Искать каких-либо известных дворянских родов или исторических фигур с этой фамилией не приходится — она осталась в крестьянской и мещанской среде. Если ваши предки носили её, скорее всего, они происходили из одной из центральных губерний, где прозвища по месту или внешности были особенно живучи.