Фамилия Конурова — женская форма фамилии Конуров, и её происхождение упирается в прозвище Конур. Первое, что приходит на ум, — связь с тюркским словом «конур», что в ряде языков (татарском, башкирском, казахском) означает «бурый» или «тёмно-рыжий». Так могли прозвать человека за цвет волос, масть скота или даже за смуглую кожу. Версия эта рабочая и географически оправданна: фамилия заметно чаще встречается в Поволжье и на Урале, в зоне активных русско-тюркских контактов.

Но есть и другая, чисто славянская версия, которую не стоит сбрасывать со счетов. В русских говорах, особенно северных и сибирских, «конурой» называли яму, нору, землянку или тесное помещение. Отсюда прозвище Конура — для человека, жившего в бедной лачуге, либо для того, кто любил прятаться, «забиваться в конуру». Слово «конура» в значении «собачья будка» закрепилось в литературном языке позже, а в диалектах оно было шире. Если фамилия возникла в центральной или северной России, эта этимология правдоподобнее тюркской.

Модель образования проста: суффикс -ов присоединили к основе Конур, получив типичную патронимическую или прозвищную фамилию. Такая модель в XVI–XVII веках была основной для крестьян и посадских людей: «чей?» — «Конуров сын» или «Конурова дочь». По сословной принадлежности предки Конуровых — скорее всего, крестьяне или ремесленники, без намёка на дворянство: фамилия не фиксируется в родословных книгах знати, а её корни слишком бытовые и простые.

Интересная деталь: ударение в фамилии плавает. В русском языке часто говорят Конуро́ва (с ударением на третий слог), но в тюркской среде логичнее Ко́нурова (с ударением на первый). Это может указывать на разную среду бытования — русскую или татаро-башкирскую. Однокоренные фамилии — Конурин, Конуркин, Конурский — встречаются реже, но подтверждают, что основа была живой и продуктивной. Самый короткий и честный ответ: предки получили прозвище либо за внешность (бурый, смуглый), либо за образ жизни (живущий в тесноте), и фамилия закрепилась за их потомками.