Фамилия Коняга — один из тех редких случаев, когда прозвище сохранилось в почти неизменном виде, без типичных фамильных суффиксов -ов или -ин. Это так называемая «застывшая» форма прозвища, которая сразу указывает на исходное слово: коняга. В русских говорах конягой называли не просто лошадь, а старую, рабочую, измученную лошадь, чаще всего крестьянскую клячу. Слово это — экспрессивное, с оттенком жалости или пренебрежения, образованное от «конь» с помощью суффикса -яг(а), который в русском языке часто придаёт значение чего-то крупного, грубого или вызывающего сочувствие (ср. бродяга, бедняга, работяга).

Прозвище Коняга могли дать человеку по двум основным линиям. Первая и самая прямая — по внешнему сходству или работе: долговязому, неуклюжему мужику, который всю жизнь «тянул лямку» как лошадь, или тому, кто был особенно худ и измождён. Вторая, менее очевидная, но не менее вероятная — по характеру: упрямому, выносливому человеку, которого ничем не проймёшь. В крестьянской среде, где конь был главным кормильцем, сравнение с конягой могло быть и обидным, и уважительным одновременно, в зависимости от контекста.

Географически фамилия тяготеет к северным и центральным областям России, где слово «коняга» было в ходу. Встречается она нечасто, и это объяснимо: прозвище было слишком конкретным и «низовым», чтобы его охотно брали в качестве официальной фамилии при переписях. Многие носители могли «облагородить» её, превратив в Конягин или Конягов, но те, кто остался Конягой, сохранили первоначальную, самую грубоватую и честную форму.

С точки зрения словообразовательной модели, фамилия Коняга стоит особняком. В русской ономастике фамилии, оканчивающиеся на -ага, -яга, — редкость. Они, как правило, восходят к прозвищам, которые не требовали переосмысления: Бродяга, Рыбяга, Сколяга. Такие фамилии почти не дают информации о социальном статусе предка (кроме того, что он был простолюдином), но зато красноречиво говорят о языке и быте той среды, где это прозвище родилось.

Однокоренные фамилии — Конев, Коньков, Коняев, Коняхин — гораздо многочисленнее, но все они прошли через стандартную суффиксацию. Коняга же осталась «живым» прозвищем, не тронутым канцелярской обработкой. Это редкий случай, когда фамилия звучит почти как кличка, и это её главная особенность.