Фамилия Кошаева хранит память о происхождении своего первого носителя. Она образовалась от личного имени Кошай, и у этого имени есть несколько версий происхождения.

Первая версия связывает основу «кош» с древнетюркским глаголом со значением «сплачивать, соединять, скрещивать». Призывно-повелительный аффикс –ай в таком случае даёт дословный перевод «соединяй, сплачивай». Называя ребёнка Кошаем, родители могли желать ему стать человеком, который принесёт в дом согласие и взаимопонимание.

Вторая версия отталкивается от татарского слова «кош» — «место стоянки, стан, кочевой лагерь, дом». Тогда имя Кошай мог получить ребёнок, родившийся дома, в родном стойбище. Это объяснение привязывает фамилию к быту кочевых народов.

Третья версия считает имя Кошай фонетическим вариантом имени Кушай. Оно восходит к древнетюркскому «куш» — «птица». Имя Кушай трактуют как «вожак птичьей стаи», а в переносном смысле — «старейшина рода». Эта гипотеза выглядит менее прямой, чем первые две, но тоже имеет право на существование.

Суффикс -ев в фамилии Кошаев указывает на русскую модель образования от имени, оканчивающегося на -ай (ср. Матвеев, Тимофеев). Потомок человека по имени Кошай со временем получил фамилию Кошаев. Встречаются и однокоренные фамилии — Кошаев, Кошайкин, Кошанский, но они могли образоваться от разных прозвищ и основ.