Фамилия Кошай — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Её форма сразу настораживает: окончание -ай нехарактерно для русских фамилий, которые обычно заканчиваются на -ов, -ин, -ский. Это первый сигнал, что корни фамилии, скорее всего, не славянские, а тюркские или финно-угорские.

Самая вероятная версия — тюркская основа. В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) слово «кош» означает «кочевье», «стоянка», «лагерь» или «пара», «двойня». Суффикс -ай в тюркских языках часто образует личные имена или прозвища: например, Курай, Алтай, Толмай. Соответственно, Кошай могло быть прозвищем человека, связанного с кочевым бытом — либо того, кто ставил стоянки, либо родившегося в степи, либо второго из двойни. В некоторых тюркских диалектах «кошай» означает «соединяй», «объединяй» — то есть прозвище могло закрепиться за миротворцем или организатором.

Вторая версия, менее распространённая, но возможная — финно-угорское происхождение. В коми-пермяцком или удмуртском языках встречаются основы «кош» — «сухой», «высохший», и уменьшительный суффикс -ай. Тогда Кошай могло быть прозвищем худого, сухощавого человека. Однако эта гипотеза слабее, так как в финно-угорских фамилиях чаще встречаются окончания -ев, -ов, а -ай — редкость.

Географически фамилия Кошай встречается в основном в Поволжье и на Урале — в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской области. Это совпадает с зоной расселения тюркских народов. Встречается она и у русских, но, скорее всего, как следствие межэтнических браков или обрусения тюркского прозвища.

Фамилия не получила широкого распространения и не имеет известных дворянских родов. По сословной принадлежности носители были, вероятнее всего, крестьянами или казаками. В документах XVII–XVIII веков фамилия не фиксируется — это говорит о её позднем оформлении, возможно, в XIX веке, когда крестьянам массово давали фамилии по прозвищам.

Если коротко: Кошай — скорее всего, тюркское прозвище, связанное с кочевым бытом или объединением людей. Фамилия редкая, региональная, без громкой истории, но с живым корнем, который многое говорит о занятиях предков.