Фамилия Котаева — женская форма фамилии Котаев, и её происхождение не лежит на поверхности. В отличие от множества фамилий на -ов/-ев, образованных от крестильных имён, здесь основа вызывает вопросы. Первое, что приходит на ум — связь со словом «кот». Однако в русской традиции фамилии от названий животных обычно образовывались через прозвища: Кот → Котов. Котаев — совсем другая модель, с суффиксом -аев, который указывает на тюркское или кавказское происхождение.

Скорее всего, основа «Котай» — это имя или прозвище. В осетинском языке, например, «кот» означает «кошка», но фамилия Котаевых (Котайты) распространена среди осетин, и здесь возможна связь с родом или селением. У тюркских народов встречается имя Котай, которое могло означать «защитник» или «опора» (от «кот» — сила, мощь). В таком случае Котаев — это «потомок Котая», и фамилия указывает на родоначальника с этим именем.

Есть и версия, связанная с географией. В Дагестане, в частности у кумыков или даргинцев, фамилии на -ев нередко образовывались от названия аула или местности. Если существовал населённый пункт Котай или Кота, то выходец оттуда получал фамилию Котаев. Подтвердить это можно, если поискать топонимы — например, в Чечне есть урочище Котай-Аре.

В русском контексте фамилия редкая и явно не исконно славянская. Суффикс -аев характерен для фамилий народов Северного Кавказа и Поволжья (ср. Алхаев, Гудаев). Поэтому носители фамилии Котаева в России — это, скорее всего, потомки осетин, чеченцев, ингушей или народов Дагестана, чьи предки в XIX–XX веках переезжали в центральные регионы.

Словообразовательный разбор прост: корень Котай- + суффикс -ев (притяжательный). Ударение, судя по распространённому произношению, падает на второй слог — Котáева, хотя в осетинском варианте возможно на первый. Если ваши предки — осетины, то фамилия может писаться и как Котайты, а в русском варианте закрепилась форма на -ев.