Фамилия Котловцевы — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает прозвищную версию. В основе лежит не прозвище Котёл (хотя и такой вариант возможен), а название населённого пункта — Котлово или Котловка. Таких сёл и деревень в России десятки, от Вологодчины до Рязанской области, и жителей оттуда называли котловцами — «людьми из Котлова». Суффикс -цев- как раз и указывает на такую модель: сначала было прозвище Котловец (приезжий из Котлова), затем фамилия Котловцев, а её множественная форма Котловцевы закрепилась за целым родом.

Менее вероятная, но лингвистически возможная версия — отчество от прозвища Котёл. В старину так могли назвать либо котельника (мастера по котлам), либо человека с округлой, «котлообразной» фигурой. Однако в этом случае мы бы ожидали фамилию Котёлов или Котлов (через полногласие -оло-), а не Котловцев. Форма с суффиксом -цев здесь выглядит искусственной и натянутой: если бы предок был просто сыном Котла, он стал бы Котловым, а не «котловцем».

Обратите внимание на окончание — Котловцев-ы. В русской ономастике фамилии на -ов, -ев, -ин дают множественное число на -ы: Ивановы, Смирновы. Форма Котловцевы (а не Котловцовы) подтверждает, что основа — мягкое «котловец», а не твёрдое «котловц». Это дополнительный аргумент в пользу топонимической версии: прозвище «котловец» естественно произносится с мягким ц, а отчество от прозвища Котёл дало бы твёрдое окончание.

Фамилия недворянская, скорее всего, крестьянская или мещанская. В писцовых книгах XVI–XVII веков Котловцевы встречаются в основном в центральных и северных уездах — там, где были деревни с корнем «котл-». Если ваши предки родом, скажем, из-под Рязани или Костромы, можно с высокой вероятностью предположить, что фамилия пошла от названия местной деревни Котлово, а не от профессии котельника.