Фамилия Которажук — характерный пример восточнославянской модели образования, где к основе прозвища добавлялся патронимический суффикс -ук. Такая модель особенно распространена в западных регионах Украины и Беларуси: суффикс -ук/-юк указывал на принадлежность к роду — «сын Котоража» или «потомок Котоража». Таким образом, первый носитель фамилии был, скорее всего, сыном или младшим родственником человека по прозвищу Котораж.

Само прозвище Котораж восходит к древнерусскому глаголу «котораться», что значит «спорить, пререкаться, ссориться». В древнерусском языке слово «котора» означало «ссора, распря, вражда». Человек, получивший такое прозвище, вероятно, отличался неуступчивым нравом, любил поспорить и отстаивать своё мнение до конца. В быту такие прозвища давались не в обиду, а как меткая характеристика яркой черты характера.

Слово «котора» и его производные встречаются в памятниках древнерусской письменности, например, в «Слове о полку Игореве»: «...въстала котора въ князехъ». Это подтверждает, что корень был общеупотребительным и понятным на всей территории Древней Руси. Со временем глагол «котораться» вышел из активного употребления, но оставил след в фамилиях: помимо Которажук, известны фамилии Которов, Которовский, Которженко.

Фамилия Которажук редкая. Её носители встречаются преимущественно в западных областях Украины — Волыни, Ровенщине, а также среди украинской диаспоры. География бытования подтверждает западноукраинское происхождение модели с суффиксом -ук. В более ранние времена прозвище Котораж могло закрепиться за человеком как личное имя, а затем, при передаче по наследству, превратилось в фамилию, полностью вытеснив крестильное имя.