Фамилия Коцур в своей основе имеет прозвище, которое, скорее всего, указывало на род занятий человека. Исходное слово — «коц», означавшее грубое шерстяное покрывало с начесом. Такую вещь либо изготавливали, либо продавали, поэтому прозвище Коцур мог получить ремесленник или торговец. Модель образования здесь простая: к корню «коц» добавлен суффикс -ур, который в русских прозвищах встречается нечасто, но именно он делает фамилию отличимой от более распространённых «Коцов» или «Коцевых».

Существует и вторая версия, но она менее правдоподобна. Согласно ей, фамилия восходит к слову «кочура» — так в центральной России называли кочку или болотистое место. Если принять эту гипотезу, прозвище давали человеку, жившему в низине, на топком участке. Однако против этой версии говорит редкость самого слова «кочура» и то, что фамилия с суффиксом -ур логичнее выводится из конкретного, бытового названия предмета, чем из географического термина.

Фамилия Коцур встречается преимущественно на Украине и в южных регионах России, что тоже склоняет к первой версии: именно в этих местах слово «коц» было в ходу, а вот «кочура» — диалектизм более северных областей. Таким образом, наиболее вероятный предок носителя фамилии — человек, имевший дело с грубой шерстяной тканью.