Фамилия Ковырев — типичный пример русского отчества, образованного от прозвища Ковырь с помощью патронимического суффикса -ев. Если бы прозвище оканчивалось на -а, мы бы имели фамилию Ковырин, но здесь основа твёрдая, мужского рода, отсюда и -ев. Сразу разберёмся с ударением: в большинстве говоров фамилия звучит как Ковырев, но в некоторых регионах, особенно на юге, встречается вариант Ковырёв — с ударным окончанием. Оба написания исторически равноправны, хотя в документах чаще фиксируется первое.

Само прозвище Ковырь, скорее всего, восходит к глаголу «ковырять» — в древнерусском языке он означал «копать, рыть, рыться в чём-то». Отсюда первая версия: прозвище могли дать человеку медлительному, кропотливому, который делал всё неспешно, как бы «ковырялся». Это необязательно обидная характеристика — в крестьянском быту тщательность часто ценилась. Вторая версия конкретнее и связана с ремеслом. В старину лапти не плели, а именно «ковыряли» — так называли процесс изготовления плетёной обуви из лыка. Мастер-лапотник ходил в народе как Ковырь. В словаре Даля «ковырять лапти» — прямое устойчивое выражение, так что этот промысловый корень выглядит даже весомее, чем бытовая характеристика.

Обратите внимание на однокоренные фамилии: Ковырин, Ковырзин, Ковырков. Все они образованы от той же основы, но с разными суффиксами. Ковырев — самая распространённая форма, что говорит о широкой географии прозвища. Встречается она по всей центральной России, но заметно чаще в бывших северных и поволжских губерниях, где лапотное ремесло было особенно развито.

В итоге: предок носителя фамилии Ковырев с большой вероятностью был либо неторопливым, скрупулёзным человеком, либо — что правдоподобнее — мастером, который ковырял лапти.